2011 年天津预赛 · 第 13 题

解答

令 $t=\cot \theta >1$。取 $D=(0,0,0),A=(0,0,1),B=(t,0,0)$。由 $BE=1$ 得 $E=(t-1,0,0)$，再由 $CE\perp BD$ 及 $\angle BDC=\theta$，可取 $C=(t-1,(t-1)/t,0)$。（1）有 $AB\cdot AC=t^2-t+1$，$|AB|=\sqrt{t^2+1}$，$|AC|=(t^2-t+1)/t$，故 $\cos \angle BAC=t/\sqrt{t^2+1}=\cos \theta$。两角均在零至直角内，所以 $\boxed{\angle BAC=\theta }$。（2）平面 $ABC$ 的法向为 $((t-1)/t,1,t-1)$，平面常数为 $t-1$。它的模为 $(t^2-t+1)/t$，故 $D$ 到此面距离为 $t(t-1)/(t^2-t+1)=4/13$。化简得 $9t^2-9t-4=0$，两根为 $4/3,-1/3$，只前者满足 $t>1$。因此 $\boxed{\cos \theta =4/5}$。