2012 年湖南预赛 · 第 14 题

解答

记大圆心为 $O$，左、中、右三个小圆心为 $O_1,O_2,O_3$。 按题图两条水平标线，$h$ 是两侧球顶部与中球顶部的竖直高差。 三个小球半径都为 $r$，所以这也正是 $O_1$ 与 $O_2$ 的竖直坐标差。

各小圆与大圆弧内切，令

则 $O{O}_1=O{O}_2=s$。相邻两球外切，所以 $O_1{O}_2=2r$。

在题图截面中，以 $O_2$ 为原点、竖直向上为纵轴，写

这里 $d$ 是水平坐标，可带符号；不会把图上比例当成额外长度条件。 由上述两类圆心距，得到

两式相减并展开，公共的 $d^2$ 与 $h^2$ 消去，故

题图的高度差为正；若 $h=0$，此式还会强迫 $r=0$，与小球半径正数矛盾。 所以可除以 $h$，求得

代入 $r=100,h=40$，先算

因而

这里的长度单位与 $r,h$ 所用单位相同。