2017 年河南预赛 · 第 12 题

思路

这里的极线是圆外点 $F$ 对应的直线 $\overrightarrow{OF}\cdot \overrightarrow{OX}=R^2$，由切点半径垂直切线即可解释。完整四边形的共轭关系属于课外几何，本解用单位圆有理参数 $((1-t^2)/(1+t^2),2t/(1+t^2))$ 自证，不把“极线”名称当成证明。

想法从哪来：两问分别是切线长平方和与多点共线，看似不同，先将切线长统一改写为点到圆心的距离平方减半径平方。 第一问于是期待 $\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{OF}=R^2$；第二问中切点满足 $\overrightarrow{OF}\cdot \overrightarrow{OX}=R^2$，所以若交点 $E,G$ 也满足同一式，它们就与两个切点落在同一直线上。两问需要的恰好是完整四边形三组对边交点的同一类点积关系。 因此先证圆上四点的代数引理，而不分别追角。把圆化为单位圆，再用有理参数表示圆上点，可将交点和点积都写成可核对的分式；证明一般恒等式后再还原半径。

把完整四边形的三对对边交点统一写成圆的共轭点积关系，再用切点的一次方程证明共线。