2013 年河南预赛 · 第 11 题

解答

由 $x_1=p+q=1$ 及 $x_3=(p+q{)}^3-3pq(p+q)=4$，得 $pq=-1$。故 $p,q$ 均满足 $t^2=t+1$，乘以 $t^n$ 后相加得到

为计算末位，可补记 $x_0=2$。模 $10$ 的 $x_0,\dots ,x_{13}$ 依次为

相邻状态 $(2,1)$ 经过 $12$ 步回返，故之后每 $12$ 步重复。$2013\equiv 9(\mathrm{mod}12)$，从表中得到 $\boxed{x_{2013}\text{ 的末位为 }6}$。