2024 年甘肃预赛

解答

（1）有

故唯一零点为 $x_0=-b/(3a)$，且 $f^{\prime \prime }$ 在其两侧异号，所以 $(x_0,f(x_0))$ 是拐点。把 $x=x_0+t$ 代入并展开；由于 $x_0$ 的选取使二次项系数 $3a{x}_0+b=0$，可写成

（其中 $\lambda$ 为常数）。因此

由题给中心对称判据，三次函数图象关于其拐点对称。

（2）本题函数满足

所以拐点横坐标为 $1/2$，且直接计算得 $f(1/2)=1$。由（1），

把第 $k$ 项与第 $2024-k$ 项配对。除中间项 $k=1012$ 外共有 $1011$ 对，每对之和为 $2$，而中间项为 $1$。故所求和为