易混 2026 年吉林预赛 · P006050
由很多参数生成的集合，不一定能按参数组数计数。一题要证明生成值没有重合，另一题却有大量不同表示，必须证明所有允许的整数值都能覆盖；两者需要的证明方向不同。
外观都是“大参数集合求元素数”，关键分别是没有重复与没有空缺。
培玉 · 一试
2026 年新疆预赛
指数平方生成集的并集计数
F2填空题集合与简易逻辑
设集合
则 的元素个数为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
并集基数由容斥公式决定，关键是先证明生成 的函数 严格递增，从而确定 ，再找出哪些函数值仍落在区间 中。
解答
令
对正整数 ，
故 严格递增， 中的 个值互不相同。因此
计算边界附近的值：
由严格递增性，恰有 时 ，而这六个函数值互不相同。 所以
由容斥原理，
复核
分别为
均属于 ；从 起所有值都大于 。严格递增性还同时保证 内没有 重复元素，故交集和并集计数均已去重。
方法总结
求由参数表达式生成的集合与整数区间的并集大小时，先区分“参数个数”和“不同函数值 个数”。证明函数在离散区间上严格单调后，可用一个越界点精确截断交集，再用容斥公式 完成计数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先证n²+3ⁿ严格递增避免重复，再用6和7两个边界截断交集，属于常规像集计数。
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