2012 年河南预赛 · 第 10 题

解答

（1）令 $h(x)=\ln (1+x)-2x/(x+2)$，有 $h(0)=0,h^{\prime }(x)=x^2/[(1+x)(x+2{)}^2]>0$，故 $x>0$ 时 $\boxed{f(x)>2/(x+2)}$。（2）设 $G(x)=[(1+x)\ln (1+x)-x]/x^2$。原不等式对 $x>0$ 等价于 $G(x)<k$，对 $-1<x<0$ 则等价于 $G(x)>k$。有恒等式 $G(x)={\int }_0^1(1-t)/(1+xt)dt$，由分母在一与 $1+x$ 之间可知两侧极限均为 $1/2$，所以必要条件为 $k=1/2$。此时 $x>0$ 时积分严格小于 ${\int }_0^1(1-t)dt=1/2$，负 $x$ 时严格大于它，故两侧都充分。所求为 $\boxed{k=1/2}$。