易混 2022 年全国高中数学联赛一试（A2 卷） 第 8 题 · P007233
互为反函数的图像条件先交换横纵坐标，才能放进同一函数关系。交换后是否能得到唯一答案，还要看原题是否提供了唯一性或点归属，不能仅凭反函数对称就删分支。
严格递增的一题把两个方程归并到同一个至多一解的方程；混合点条件的一题先用单射性安排点的归属，交换两条曲线仍可能留下不同的合法参数组，必须全部保留。
培玉 · 一试
2022 年广西预赛
函数与反函数方程的根
F2填空题函数的图像与性质
设 是严格单调递增的函数，其反函数为 。设 分别是方程
的解，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把反函数方程中的横纵坐标交换，再利用 的严格递增性保证解唯一。
解答
由 及反函数关系，得
令 ，则 。因为 严格递增，所以 也严格递增，方程 至多有一个解。因此
即
复核
题设已经称 为相应方程的解，存在性无需另证；严格递增性保证唯一性没有缺口。
方法总结
反函数图像关于 对称；代数上把 改写为 ，常能把两个方程归并为同一个唯一解问题。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
由反函数关系把第二个解转成原函数方程的候选2-x2，再用f(x)+x递增确定其等于x1，是常见对称求和模型。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：用平移、旋转、对称化简、用严格单调比较或还原
专题卡：图像翻折、旋转和对称：写出点的坐标怎么变，再求解析式或函数值、函数值比较、恒成立和根的位置：用单调性去掉函数符号
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