同一骨架 2025 年江西预赛 · P006301
比较同一点对两个圆的幂时，先选择能计算的公共直线或割线，把两个圆心和半径藏进点幂。两题再将等幂读成投影位置或切线长关系，避免分别求两圆的全部数据。
一题的垂直条件把距离平方差消去，另一题在公共高线上直接计算割线乘积。
培玉 · 一试
2023 年北京预赛
F4解答题平面几何综合
如图， 为给定的锐角三角形，其内切圆 分别与边 切于点 。高 分别与 的平分线交于点 。设 分别为 的外接圆， 的中点在 外。求证：从 的中点引向 和 的切线长相等。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
同一圆上割线交点的有向距离乘积等于点幂；圆外切线长为正点幂的平方根。半角公式把cosB写成(1-t²)/(1+t²)。
想法从哪来：切线长相等首先想到同一点对两圆的幂相等，不必真的作出切线。两圆都已有一个点落在高线上，而待比较的中点也在这条线上，因此找各圆在高线上的第二交点最省事。A到圆的另一条割线恰好经过B、K或C、L，先在A处用点幂得到交点位置，再转到中点求幂。高与角平分线的位置自然带出半角正切，内切点长度也能用相同变量表示；把两边写成交换两个半角变量的形式，最后相等关系就直接显露。沿高线用有向坐标求乘积，避免把位于高延长线的交点误当成线段内点。
设两外接圆与高线的另一个交点分别为 。 先利用点 对两圆的幂求出两个交点位置，再从高的中点计算两圆幂。
解答
记 ，并令
在直角三角形 中， 是 的平分线。由角平分线定理，
故
同理
设从 到内切圆的切线长为 。由边长的半角表示，
又
令直线 与 除 外的另一个交点为 。由点 对 的幂，
所以
同理，若 与 除 外的另一个交点为 ，则
设 为 的中点。沿从 指向 的方向取有向距离，则
两幂相等。由题设 在两圆外，从 引向两圆的切线长分别为相应点幂的正平方根，故二者相等。
复核
三角形锐角保证 ；角平分线定理应用于 与 合法。两点幂均为正，与题设“中点在圆外”一致。
方法总结
比较同一点到两圆的切线长，核心是比较点幂；若两圆都与同一直线有已知交点，可先由另一条割线求第二交点，再在公共直线上计算幂。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
先用半角参数协调内切圆切线长及两角平分点，再由割线求另一交点，计算高线中点的两个有向点幂。
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