培玉 · 一试
2020 年中科大少年班初试 · 第 6 题
F3填空题幂指对
设、、，则的大小规律为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先把几何平均数与中间自幂作比，拆成两个小于一的因子；算术平均数与自幂则可由其中一个大项给出严格下界。
解答
记 。由定义，
故 。另一方面，由伯努利不等式，
平方得 ，所以
由于 ，有 。于是
复核
伯努利不等式中的整数指数为 、增量为 且不为零，因此确为严格不等式。 的两个因子均为正且严格小于一； 中另一项为正，所有比较方向一致。
方法总结
巨大整数幂比较先作比、拆出公共尺度；几何平均数与算术平均数不能仅凭名称就确定它们与第三个量的关系，需分别建立严格比较。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须选择同次幂配对且保留异指数倍率，并为单个大项构造足够下界；不能只用算术几何平均就得中间量a。
已记下，谢谢！