2011 年黑龙江预赛 · 第 17 题

解答

开口向上的二次式满足 $f(x)\le 0$ 的解集恰有一个元素，当且仅当判别式 $t(t-4)=0$。故 $t=0$ 或四。$t=4$ 时，例如 $0<1/2<1$，却有 $f(1/2)>f(1)$，不符合第二条件；$t=0$ 时在正半轴严格递增，确实符合。于是 $S_n=n^2$，由首项和相邻差得 $\boxed{a_n=2n-1}$。所求有限和为 ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+3)}=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)$，所以 $\boxed{\text{所求极限}=1/3}$。