培玉 · 一试

专题地图 › 空间角与距离

2026 年北京预赛

F3填空题空间角与距离

设点 $P (x, y, z)$ 在平面 $2 x - y + z = 2$ 上，记 $d_{1} = ∣ OP ∣$ ， $d_{2}$ 是 $P$ 到平面 $x - 2 y + 2 z = 0$ 的距离，则 $d_{1}^{2} + 9 d_{2}^{2}$ 的最小值为。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

需将9倍点面距离平方化为线性式平方，并选择系数使约束成为平方和的有效柯西下界，再验证等号点。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：用法向量处理方向、夹角与点面距离、柯西不等式与投影

专题卡：分点、投影与平行条件消参