2026 年云南预赛

解答

首先，对数底数须满足 $a>0$ 且 $a\ne 1$。记

若 $a>1$，则 ${\log }_{a}g(x)>0$ 等价于 $g(x)>1$。因为

$g$ 在 $[1,2]$ 上递增，故只需考察左端点：

于是

若 $0<a<1$，则 ${\log }_{a}g(x)>0$ 等价于 $0<g(x)<1$。由于 $g$ 为开口向上的 二次函数，而

要使 $g(2)>0$，必须 $a>3/8$。此时

且当 $a\ge 1/2$ 时 $g$ 在 $[1,2]$ 上递增，最大值为 $g(2)=4a-3/2\ge 1/2$；继续由 $g(2)<1$ 得 $a<5/8$。 另一方面，在 $3/8<a<1/2$ 时，顶点位于 $(1,4/3)$，故最小值为

不合要求；在 $1/2\le a<1$ 时，$g$ 在 $[1,2]$ 上递增，条件为

这分别给出 $a>1/2$ 与 $a<5/8$。因此这一情形得到

综上，