空间角与距离

从这里开始

目标训练建设中。知识要点、方法卡和分级真题已可使用；先从一道真题开始，卡住时逐级看提示，核对后再换题验证。

空间角与距离先确定所求对象：直线夹角取不超过 $9 0^{\circ}$ 的角，指定半平面的内二面角保留方向；距离则取垂直分量。坐标和数量积能统一计算，但有限棱、面片与全部合法空间分支仍要回到原构型检查。最值题应同时交出代数界和真正可取的立体。

先修（培玉高中数学）：空间向量及其运算空间向量及其运算的坐标表示空间向量的应用空间直线、平面的平行空间直线、平面的垂直

知识要点

正交坐标与长度数据的数量积表

建立直角坐标系前，先确认三个轴方向两两垂直；斜棱不能直接充当单位正交基。已知同起点向量的三边，可由 $2 u \cdot v = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} - ∣ u - v ∣^{2}$ 恢复数量积。例： $∣ u ∣ = 2, ∣ v ∣ = 3, ∣ u - v ∣ = 7$ 给 $u \cdot v = 3$ ，夹角余弦为 $1/2$ 。任意线性组合再按双线性展开，无须强求各顶点坐标。

直线角、向量角与线面角分别取值

非零方向向量 $u, v$ 的直线夹角满足 $cos θ = ∣ u \cdot v ∣/ (∣ u ∣∣ v ∣)$ ；向量本身的夹角不加绝对值。若平面非零法向量为 $n$ ，线面角满足 $sin φ = ∣ u \cdot n ∣/ (∣ u ∣∣ n ∣)$ 。例： $u = (1, 2, 2)$ 与 $x$ 轴夹角的余弦为 $1/3$ ，与 $z = 0$ 的夹角的正弦为 $2/3$ 。分母中的方向或法向量为零时，必须先处理构型退化。

内二面角保留垂棱方向的符号

设棱的单位方向为 $e$ ，从棱上同一点分别指向两半平面内部的向量为 $u, v$ 。先投影 $u_{⊥} = u - (u \cdot e) e$ ，对 $v$ 同样处理；二面角余弦就是两非零投影的数量积除以模长积，不取绝对值。例：棱沿 $z$ 轴，取 $(1, 0, 1)$ 与 $(- 1, 3, 1)$ ，投影夹角为 $12 0^{\circ}$ ，余弦为 $- 1/2$ ；两个支持平面所成锐角却为 $6 0^{\circ}$ 。只算两个任意法向量的锐角会丢失半平面信息。

点面、异面线距离都来自正交分量

平面 $n \cdot X = c$ 的点面距离为 $∣ n \cdot P - c ∣/∣ n ∣$ 。例： $P = (1, 2, 3)$ 到 $2 x - y + 2 z = 0$ 的距离为 $2$ 。非平行直线 $A + s u, B + t v$ 的距离为 $∣ (B - A) \cdot (u \times v) ∣/∣ u \times v ∣$ ；例： $(s, 0, 0)$ 与 $(0, t, 2)$ 的距离为 $2$ 。平行线要改用垂直于共同方向的投影，不能除以零叉积。线段问题另核垂足参数是否在段内。

球心等距与平面截圆

三条两两垂直棱的端点为 $(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)$ ，连同原点所成四面体的外接球心为 $(a /2, b /2, c /2)$ ，其中 $a, b, c > 0$ 。例： $a = 2, b = 4, c = 6$ 给球心 $(1, 2, 3)$ 、半径 $14$ ，代回四个顶点距离相同。半径 $R$ 的球被距球心 $d$ 的平面截得圆面积为 $π (R^{2} - d^{2})$ ，适用于 $0 \leq d < R$ ； $d = R$ 只剩切点， $d > R$ 无交。例： $R = 3, d = 1$ 给 $8 π$ 。

中点把数量积化为到定点距离

设 $O$ 是 $A C$ 中点，则 $P A \cdot PC = P O^{2} - A C^{2} /4$ ，直接由 $P A = PO + O A$ 与对应减式相乘得到。例： $A = (- 2, 0, 0), C = (2, 0, 0)$ ， $P$ 在平面 $z = 3$ 上，目标为 $x^{2} + y^{2} + 5$ ，最小值 $5$ 在 $(0, 0, 3)$ 取到。若 $P$ 限在面片内，垂足还须属于面片；若数量积为零得到圆或球，则是另一种可行集，不能沿用整平面的最值点。

反射下界与真实折线的等号

平面内两点 $A = (0, 2), B = (4, 1)$ 到 $x$ 轴动点 $Q$ 的距离和，可将 $B$ 反射为 $B^{*} = (4, - 1)$ 。于是 $A Q + QB \geq A B^{*} = 5$ ，连线与轴交于 $(8/3, 0)$ ，在整轴上能取等。若改限 $0 \leq x_{Q} \leq 2$ ，该交点不合法，最小值改在 $Q = (2, 0)$ ，为 $22 + 5$ 。空间内先把距离写成统一实参数的平面距离，或反射实际所在平面；多次反射须同时核穿过各面片的顺序与交点。不同权重的距离和不能直接用同一个镜像等号。

固定高度把角度区间变为半径区间

空间点 $P$ 到平面的垂足为 $H$ ，高度 $h > 0$ 。当 $Q \neq = H$ 时，线面角满足 $H Q = h cot θ$ ，角越大半径越小； $Q = H$ 单独对应 $9 0^{\circ}$ 。例： $h = 2$ ， $3 0^{\circ} \leq θ \leq 4 5^{\circ}$ 恰给 $2 \leq H Q \leq 23$ ，面积为 $8 π$ 。若 $Q$ 还受正方形或圆盘限制，须与原区域取交；定长条件得到的圆与实际面片的交集可能只是一段圆弧。开闭边界影响点集与最值是否取得，不能在求面积时顺手抹掉。

方法卡

边长恢复数量积与对称坐标

已知棱长可先恢复成对点积，再计算中点或其他线性组合的长度。

完整讲解 · 例题 · 可练 24 题

一、是什么

先认识这些量

向量点积满足 $u \cdot v = (∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} - ∣ u - v ∣^{2}) /2$ 。记录所有成对点积形成的表称 Gram 矩阵。

为什么这样做

中点向量是两端向量的平均，展开它的模平方只需成对点积，无须误把等长棱当正交轴。

先看一道例题

例 1：等边面点积

正四面体棱长 $2$ ，求 $O A \cdot OB$ 。

怎么看出来：

两个向量差的长度也是二。

解：

点积为 $(4 + 4 - 4) /2 = 2$ ；向量夹角余弦为 $2/4 = 1/2$ 。

答案：

$2$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
给四面体棱长、正棱锥、正四面体中的中点或线性组合方向。	已知棱长可先恢复成对点积，再计算中点或其他线性组合的长度。
正四面体棱长 $2$ ，求 $O A \cdot OB$ 。	两个向量差的长度也是二。

三、怎么用

选共同顶点作向量原点。
由三条边长求各点积。
将分点写成线性组合。
展开目标并核向量非零与角的类型。

四、再做一道

例 2：中点长度

同一四面体， $M$ 为 $A B$ 中点，求 $OM$ 。

怎么看出来：

中点向量为两棱向量之和的一半。

解：

$O M^{2} = (4 + 4 + 2 \cdot 2) /4 = 3$ ，所以 $OM = 3$ 。

答案：

$3$ 。

五、容易错在哪

正四面体同顶点三棱夹角不是直角，不能直接当坐标轴。

真题

按这个方法练 · 24 题

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法向量控制平行、线面角与方向计数

法向量垂直平面内两条独立方向，可控制线面角与方向平行。

完整讲解 · 例题 · 可练 25 题

一、是什么

先认识这些量

非零向量 $n$ 若垂直两条不平行面内方向，就叫该平面的法向量。直线方向 $v$ 与平面夹角 $α$ 满足 $sin α = ∣ v \cdot n ∣/ (∣ v ∣∣ n ∣)$ 。

为什么这样做

只垂直一条面内方向不足以确定法线。方向平行于平面还须区分直线在平面内与严格平行。

先看一道例题

例 1：求法线

平面过 $(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$ ，求一个法向量。

怎么看出来：

两个面内差向量都与一一一正交。

解：

面内方向为 $(- 1, 1, 0), (- 1, 0, 1)$ ，均与 $(1, 1, 1)$ 点积为零，且不平行。

答案：

$(1, 1, 1)$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
点由中点或参数给出，出现平面平行、线面角，或满足多个角度条件的平面个数。	法向量垂直平面内两条独立方向，可控制线面角与方向平行。
平面过 $(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$ ，求一个法向量。	两个面内差向量都与一一一正交。

三、怎么用

建立正交等尺度坐标。
取两条独立面内方向求非零法线。
写点积或线面角正弦。
核零向量与包含关系。

四、再做一道

例 2：线面角

求横坐标轴与平面 $x + y + z = 1$ 的夹角正弦。

怎么看出来：

轴方向与法线夹角的余弦是线面角的正弦。

解：

$v = (1, 0, 0), n = (1, 1, 1)$ ，故 $sin α = 1/ 3$ 。

答案：

$1/ 3$ 。

五、容易错在哪

线面角用正弦，不应把法向量夹角直接当作线面角。

真题

按这个方法练 · 25 题

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垂棱投影求指定半平面二面角

求指定半平面二面角，先投影到垂直交棱的平面，并保留方向符号。

完整讲解 · 例题 · 可练 29 题

一、是什么

先认识这些量

二面角由公共棱与两侧半平面组成。设棱单位方向为 $e$ ，向量 $u$ 的垂棱分量为 $u - (u \cdot e) e$ 。

为什么这样做

两条指向指定半平面的垂棱分量，其夹角才是所求二面角。取点积绝对值会把钝角换成补角。

先看一道例题

例 1：直角二面角

棱沿横坐标轴，两半平面内方向为 $(1, 1, 0), (2, 0, 1)$ ，求二面角。

怎么看出来：

去掉横坐标分量。

解：

投影为 $(0, 1, 0), (0, 0, 1)$ ，点积为零，故二面角为 $9 0^{\circ}$ 。

答案：

$9 0^{\circ}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
问指定二面角或比较正多面体内部二面角，已知沿棱方向的夹角或棱长。	求指定半平面二面角，先投影到垂直交棱的平面，并保留方向符号。
棱沿横坐标轴，两半平面内方向为 $(1, 1, 0), (2, 0, 1)$ ，求二面角。	去掉横坐标分量。

三、怎么用

确定公共棱和两个指定半平面。
取指向两侧的向量。
去掉沿棱分量并核剩余非零。
用保留符号的点积求角。

四、再做一道

例 2：钝二面角

棱仍沿横轴，两侧方向为 $(0, 1, 0), (0, - 1, 1)$ ，求二面角余弦。

怎么看出来：

两方向已垂棱，直接保符号。

解：

点积为 $- 1$ ，模为 $1, 2$ ，余弦为 $- 1/ 2$ ，角为 $13 5^{\circ}$ 。

答案：

$- 1/ 2$ 。

五、容易错在哪

不能为方便把二面角点积取绝对值，否则会丢掉指定半平面的信息。

真题

按这个方法练 · 29 题

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点面距离、异面线距离与球截面

先用法线或公共垂线方向求垂距，再应用球截面勾股关系。

完整讲解 · 例题 · 可练 26 题

一、是什么

先认识这些量

异面直线方向 $u, v$ 不平行时， $u \times v$ 垂直两线。若两线上基点差为 $w$ ，距离为 $∣ w \cdot (u \times v) ∣/∣ u \times v ∣$ 。

为什么这样做

球心到平面垂距为 $d$ 时，截圆半径平方为 $R^{2} - d^{2}$ 。若此值负则不相交，零则相切。

先看一道例题

例 1：两异面线

直线 $l_{1} = (t, 0, 0)$ 与 $l_{2} = (0, s, 3)$ 的距离是多少？

怎么看出来：

横轴与平行纵轴的线相隔高度三。

解：

方向为 $(1, 0, 0), (0, 1, 0)$ ，叉积 $(0, 0, 1)$ ，基点差 $(0, 0, 3)$ ，距离 $3$ 。线段从原点到 $(0, 0, 3)$ 实现。

答案：

$3$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
求点到平面、两条异面直线距离，或球截圆与直三棱锥外接球。	先用法线或公共垂线方向求垂距，再应用球截面勾股关系。
直线 $l_{1} = (t, 0, 0)$ 与 $l_{2} = (0, s, 3)$ 的距离是多少？	横轴与平行纵轴的线相隔高度三。

三、怎么用

核法向量或叉积非零。
将基点差投影到垂直方向。
球问题再比较距离与半径。
核相交状态与非负根。

四、再做一道

例 2：球与平面

球 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$ 被平面 $z = 3$ 截得圆面积是多少？

怎么看出来：

先算球心到平面距离。

解：

垂距 $3 < 5$ ，截圆半径平方 $25 - 9 = 16$ ，面积 $16 π$ 。

答案：

$16 π$ 。

五、容易错在哪

两方向平行时叉积为零，不能继续使用异面线公式。

真题

按这个方法练 · 26 题

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分点、投影与平行条件消参

分点用线性参数，方向平行用法线点积，平方距离和用中点配方。

完整讲解 · 例题 · 可练 15 题

一、是什么

先认识这些量

线段点 $P = A + t (B - A)$ 要求 $0 \leq t \leq 1$ 。方向平行于平面等价于与法线点积零；严格线面平行还须不在面内。

为什么这样做

两定点 $A, B$ 的中点为 $M$ 时， $P A^{2} + P B^{2} = 2 P M^{2} + A B^{2} /2$ ，受平面限制时最佳点是中点的合法正投影。

先看一道例题

例 1：线面平行定分点

$A = (0, 0, 1), B = (2, 0, 3), C = (0, 0, 2)$ 。 $P \in A B$ 且 $CP$ 平行平面 $x + z = 0$ ，求 $P$ 。

怎么看出来：

法线为一零一。

解：

$P = (2 t, 0, 1 + 2 t)$ ， $CP = (2 t, 0, 2 t - 1)$ ，点积 $4 t - 1 = 0$ 得 $t = 1/4$ 。 $C$ 不在该平面，故为严格平行。

答案：

$P = (1/2, 0, 3/2)$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
平面平行或线面平行决定动点位置，数量积目标带固定端点，或空间直角投影限制顶点。线性平面约束下的平方和目标也可先转为投影下界。	分点用线性参数，方向平行用法线点积，平方距离和用中点配方。
$A = (0, 0, 1), B = (2, 0, 3), C = (0, 0, 2)$ 。 $P \in A B$ 且 $CP$ 平行平面 $x + z = 0$ ，求 $P$ 。	法线为一零一。

三、怎么用

写分点参数及范围。
用法向量翻译方向条件。
保留线面包含关系，或以中点配方。
回代核可行点。

四、再做一道

例 2：平面上平方和

$P = (x, y, 0)$ ， $A = (0, 0, 1), B = (2, 0, 1)$ ，求 $P A^{2} + P B^{2}$ 最小值。

怎么看出来：

中点在平面外，要正投影。

解：

平方和 $2 (x - 1)^{2} + 2 y^{2} + 4 \geq 4$ ，在 $P = (1, 0, 0)$ 取等。

答案：

$4$ 。

五、容易错在哪

如果垂足不在允许面片内，不能用整个平面的最小值作为实际最小值。

真题

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折线反射与加权距离的支撑下界

无权折线可反射拉直，加权距离要用单位方向的投影下界。

完整讲解 · 例题 · 可练 4 题

一、是什么

先认识这些量

单位向量 $e$ 满足 $∣ e ∣ = 1$ ，柯西不等式给 $∣ v ∣ \geq e \cdot v$ 。若加权后的平面内线性项相消，就得到全平面的统一下界。

为什么这样做

反射保持单段距离，但不消掉不同权重。加权时先找候选点，再用各段的候选单位方向建立可同时取等的下界。

先看一道例题

例 1：平面折线

$A = (0, 0, 1), B = (4, 0, 1)$ ， $P$ 在 $z = 0$ ，求 $P A + PB$ 最小值。

怎么看出来：

把一个定点反射到平面另一侧。

解：

$A' = (0, 0, - 1)$ ， $P A = P A'$ 。三角不等式给下界 $A' B = 25$ ，交点 $P = (2, 0, 0)$ 可达。

答案：

$25$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
动点受一条线、一个面或两个面片约束，目标是两段或三段距离和，或不同权重的范数和。	无权折线可反射拉直，加权距离要用单位方向的投影下界。
$A = (0, 0, 1), B = (4, 0, 1)$ ， $P$ 在 $z = 0$ ，求 $P A + PB$ 最小值。	把一个定点反射到平面另一侧。

三、怎么用

确认是无权还是加权和。
无权时反射，加权时选单位支撑方向。
证明对全部允许点的下界。
核交点或候选点同时满足等号。

四、再做一道

例 2：加权支撑

$A = (- 3, 0, 4), B = (3, 0, 91)$ ， $P = (x, y, 0)$ ，求 $P A + 2 PB$ 最小值。

怎么看出来：

原点处两单位方向的水平分量加权相消。

解：

用单位方向 $(3/5, 0, - 4/5)$ 与 $(- 3/10, 0, - 91 /10)$ 投影，得 $P A \geq 3 x /5 + 5$ ， $PB \geq - 3 x /10 + 10$ 。故和至少 $25$ ， $P = O$ 时两项为 $5, 10$ ，取等。

答案：

$25$ 。

五、容易错在哪

不同权重不能直接用反射后的单条距离代替；仅在某条线上的最小也不等于整平面最小。

真题

按这个方法练 · 4 题

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垂足距离与实际平面区域

空间定距或角度条件先投影成平面半径限制，再与允许底面相交。

完整讲解 · 例题 · 可练 5 题

一、是什么

先认识这些量

空间点 $S$ 到平面的垂足为 $H$ ，高度为 $h > 0$ 。平面点 $P$ 满足 $S P^{2} = h^{2} + H P^{2}$ 。线段与平面夹角的正弦为 $h / SP$ 。

为什么这样做

角越大，平面半径越小。垂足处角为直角，不能当作无意义点删掉。

先看一道例题

例 1：定距轨迹

$S = (0, 0, 3)$ ，平面 $z = 0$ 上满足 $SP = 5$ 的点在哪里？

怎么看出来：

勾股给水平半径。

解：

$x^{2} + y^{2} = 25 - 9 = 16$ ，所以是以原点为圆心、半径 $4$ 的圆。

答案：

$z = 0, x^{2} + y^{2} = 16$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
固定高度、固定空间距离、角度上下界，或点限在几何体底面。	空间定距或角度条件先投影成平面半径限制，再与允许底面相交。
$S = (0, 0, 3)$ ，平面 $z = 0$ 上满足 $SP = 5$ 的点在哪里？	勾股给水平半径。

三、怎么用

作垂足并记录固定高度。
将距离或角换成半径条件。
与实际底面区域取交。
反查内点、边界和垂足。

四、再做一道

例 2：角度下界

同一 $S$ ，要求 $SP$ 与平面夹角至少 $4 5^{\circ}$ ，求 $P$ 区域。

怎么看出来：

角度大对应半径小。

解：

$3/ x^{2} + y^{2} + 9 \geq 1/ 2$ ，得 $x^{2} + y^{2} \leq 9$ 。原点对应直角，也包含。

答案：

$z = 0, x^{2} + y^{2} \leq 9$ 。

五、容易错在哪

底面有限时还要裁剪圆或圆盘，不能自动取整个平面区域。

真题

按这个方法练 · 5 题

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空间条件降一元与等号还原

空间动点降为一元式后，必须保留线段范围并比较边界。

完整讲解 · 例题 · 可练 18 题

一、是什么

先认识这些量

线段参数在闭区间内；直线上距离最小点可能在线段外。长度非负，通常可先优化长度平方。

为什么这样做

驻点只给候选，受限问题的端点同样可能最优。等号参数还要恢复全部几何条件。

先看一道例题

例 1：线段最近点

$P = (t, 0, 0), 0 \leq t \leq 2$ ，求到 $A = (3, 1, 0)$ 的最近距离。

怎么看出来：

垂足横坐标三在线段外。

解：

$P A^{2} = (t - 3)^{2} + 1$ 在区间上递减，最小在 $t = 2$ 为 $2$ ，故距离 $2$ 。

答案：

$2$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
线段动点、给和的两棱长、受限角度或空间长度最值，且已可由少量实参数描述。	空间动点降为一元式后，必须保留线段范围并比较边界。
$P = (t, 0, 0), 0 \leq t \leq 2$ ，求到 $A = (3, 1, 0)$ 的最近距离。	垂足横坐标三在线段外。

三、怎么用

用原约束消去多余变量。
写完整参数范围。
比较驻点、端点及合法分支。
回构等号立体并核非退化。

四、再做一道

例 2：长方体体积

长方体高 $3$ ，两底边正数 $x, y$ 满足 $x + y = 4$ ，求最大体积。

怎么看出来：

体积只剩一个定和乘积。

解：

$x y = 4 - (x - 2)^{2} \leq 4$ ，故体积 $3 x y \leq 12$ ，在 $x = y = 2$ 取等且不退化。

答案：

$12$ 。

五、容易错在哪

整直线上的驻点若不在线段内，不能作为线段问题的解。

真题

按这个方法练 · 18 题

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误区对照

容易误以为

两条异面直线的方向向量为 $u = (1, 0, 1)$ ， $v = (- 1, 1, 0)$ ， $cos ⟨ u, v ⟩ = - \frac{1}{2}$ ，所以两直线所成角为 $12 0^{\circ}$ 。

应当这样想

直线所成角的范围是 $(0^{\circ}, 9 0^{\circ}]$ ，应取 $cos θ = ∣ cos ⟨ u, v ⟩ ∣ = \frac{1}{2}$ ，两直线所成角为 $6 0^{\circ}$ 。

为什么

方向向量可以反向，向量夹角 $12 0^{\circ}$ 与 $6 0^{\circ}$ 描述同一对直线；直线角要取余弦的绝对值。

容易误以为

直线方向向量 $u = (3, 0, 1)$ ，平面法向量 $n = (0, 0, 1)$ ， $cos ⟨ u, n ⟩ = \frac{1}{2}$ ，所以直线与平面所成角为 $6 0^{\circ}$ 。

应当这样想

$6 0^{\circ}$ 是直线与法线的夹角。线面角 $θ$ 与它互余： $sin θ = ∣ cos ⟨ u, n ⟩ ∣ = \frac{1}{2}$ ， $θ = 3 0^{\circ}$ 。直观上 $u$ 的竖直分量 $1$ 小于水平分量 $3$ ，直线更贴近平面。

为什么

线面角是直线与它在平面内射影的夹角，法向量给出的是它的余角，所以用正弦而不是余弦。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 127 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。