2013 年山西预赛 · 第 6 题

解答

不妨 $a<b<c$，则三和依次为 $a+b<a+c<b+c$，故分别等于 $n^2,(n+1{)}^2,(n+2{)}^2$。相加减得

整数性要求 $n$ 为奇数；$a>0$ 又要求 $n>3$。所以最小下标是五，给 $(a,b,c)=(6,19,30)$。三个表达式在 $n\ge 5$ 时均为正且严格递增，所以平方和也严格增大。因此最小值为 $\boxed{6^2+19^2+30^2=1297}$。