2010 年河北预赛 · 第 16 题

解答

设 $a^2=A,b^2=B$。有 $A-B=6$、$4/A+1/B=1$，推出 $B^2+B-6=0$。取正根得 $B=2,A=8$。（1）弦写为 $y=x/2+t$。联立椭圆得到 $x^2+2tx+2t^2-4=0$，两不同根要求 $|t|<2$，其差绝对值为 $2\sqrt{4-t^2}$。面积为 $|t|\sqrt{4-t^2}\le 2$，在 $t=\pm \sqrt{2}$ 达到，所以 $\boxed{S_{\max }=2}$。（2）在题述两条直线及所围三角形有定义的构型下，$t\ne 0$。设两交点横坐标为 $x_1,x_2$，割线 $MA,MB$ 的斜率分别为 $m=1/2+t/(x_1-2)$、$n=1/2+t/(x_2-2)$。用根和 $s=-2t$、根积 $p=2t^2-4$，得 $m+n=1+t(s-4)/(p-2s+4)=0$。这两个斜率均非零，故两横轴截点为 $(2-1/m,0),(2+1/m,0)$，关于 $(2,0)$ 对称。它们到 $M=(2,1)$ 的距离相等，所围三角形是等腰三角形。