2018 年湖南预赛

解答

按 $y$ 的正负拆式可知边界为 $y=x^2/32-8$、$y=x^2/32+8$（均取 $|x|\le 16$），以及 $x=\pm 16,0\le y\le 16$。同一横坐标的上下高度差恒为十六，所以 $\boxed{S_D=512}$。过 $M$ 的非竖直线由对称性可取 $y=kx-16,k>0$；有两个不同交点要求 $k>1$，下端横坐标为 $x_1=16(k-\sqrt{k^2-1})$。当 $1<k\le 2$ 时，远端在右竖边，故 $PQ=16\sqrt{1+k^2}(1-k+\sqrt{k^2-1})$；两正因子都严格递增，所以该段最大在二。当 $k\ge 2$ 时，远端在上抛物线，故 $PQ=32\sqrt{k^2+1}/(\sqrt{k^2-1}+\sqrt{k^2-3})$。令 $z=k^2\ge 4$，分母的对数导数是 $1/[2(z-1)]$、$1/[2(z-3)]$ 的正权平均，严格大于分子对数导数 $1/[2(z+1)]$，故本段严格递减。因此 $\boxed{P{Q}_{\max }=16\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)}$，由直线 $y=\pm 2x-16$ 达到。