2024 年上海预赛

解答

记第 $j$ 列的列和为 $C_j$。由于每行严格递减， $C_1>C_2>C_3>C_4$。所以只需证明不存在使所有行和均大于 $C_4$ 的填法。

反设存在这样的填法。把各行按第四个数从小到大重新编号，记这些数为

各行和均为整数，故均至少为 $C+1$。考察前 $j$ 行：它们前三列的 $3j$ 个数之和不超过 $100,99,\dots ,101-3j$ 之和；其余 $7j$ 个数互不相同且都不超过 $c_j$，故其和不超过 $c_j+(c_j-1)+\cdots +(c_j-7j+1)$。于是

从而

另一方面，上述 $7j$ 个互异正整数均不超过 $c_j$，所以

把（1）对 $j=1,2,\dots ,7$ 求和，得到

再把（2）用于 $j=8,9,10$，得到

两式相加即有 $C={\sum }_{j=1}^{10}{c}_j\ge C+1$，矛盾。因此 $n\le 4$ 均不可能。

最后证明 $n=5$ 可行。对 $1\le i\le 10$，第 $i$ 行从左到右填

前四列恰使用 $61,62,\dots ,100$，后六列恰使用 $1,2,\dots ,60$，且每行严格递减。 第五列之和为 $6(1+2+\cdots +10)=330$，而第 $i$ 行之和为

故所求最小值为