2025 年四川预赛

解答

设

其中 $u,v$ 两两不同，且 $u,v\ne 1$。由于

条件 $AB\perp AC$ 等价于

抛物线在参数为 $t$ 的点 $(t,t^2)$ 处的切线为

联立 $B,C$ 两点处的切线，因 $u\ne v$，得到

记 $P=(x,y)$。由（1）可得

故

反过来，对直线（2）上任一点 $P=(x,y)$，令 $u,v$ 为方程

的两根。其判别式为

故 $u,v$ 总是两个不同实数，且由 $u+v=2x$、$uv=y$ 得 $(u+1)(v+1)=-1$。只有当 $u$ 或 $v$ 等于 $1$ 时，$B$ 或 $C$ 会与 $A$ 重合；此时另一根为 $-3/2$，对应

因此点 $P$ 的轨迹为