2012 年湖北预赛 · 第 9 题

解答

原数列为正项，故可将题设两边同除 $\sqrt{a_n{a}_{n+1}}$，得到

令 $b_n=\sqrt{1+a_{n+1}/a_n}$，则 $b_1=3$ 且 $b_{n+1}=4b_n+3$。故 $b_n+1=4^n$，即 $b_n=4^n-1$，从而

连乘并用 $a_1=1$，得

$n=1$ 时约定空积为 $1$。