2010 年安徽预赛 · 第 8 题

解答

八个顶点中任取三点均不共线，且 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)=56$ 个三点集等可能。每个直角三角形的直角顶点唯一，因此可先选直角顶点。 固定一个顶点 $O$，以从它出发的三条互相垂直棱为坐标轴，并令棱长为 $1$。其他七个顶点的向量恰为三个坐标各为 $0$ 或 $1$ 的非零向量。 两这样的向量垂直，当且仅当它们的非零坐标位置互不重叠。 无序配对只有两类：两个单坐标向量，有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ 对；一个单坐标向量与使用其余两坐标的向量，有 $3$ 对。两个向量都至少使用两坐标时必有重叠，使用三坐标的向量也不可能与非零向量正交。 故每个直角顶点对应 $6$ 个直角三角形，总数为 $8\cdot 6=48$，没有重复计数。所求概率为 $\boxed{48/56=6/7}$。 图中 $OA\perp OG$ 示意第二类，其余情形由同样的坐标位置判定覆盖。