2011 年河南预赛 · 第 3 题

解答

由 $\alpha 10^{\alpha }=2011>0$ 知 $\alpha >0$。又 $\beta \lg \beta =2011$ 要求 $\beta >1$。令 $t=\lg \beta >0$，则 $t10^t=2011$。函数 $u10^u$ 在正半轴严格递增，故 $t=\alpha$、$\beta =10^{\alpha }$，所以 $\boxed{\alpha \beta =2011}$。