培玉 · 一试
2026 年山东预赛
对数恒等式判定三角形形状
F2填空题幂指对
若三角形边长 均大于 且满足
则该三角形的形状为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
等式呈现 的结构。
思路
由于 ，两个对数均不为零；除以乘积后用倒数换底， 即可把加法合并为一个对数。
解答
题设对数有意义，所以 ，且两个底数均为正数且不等于 。 令
由 知 。将 除以 ，得到
利用换底公式，
从而
故
因此边长为 的边是斜边，该三角形为
复核
由对数的定义域已经得到 ；等式 又保证 是三边中的最大者， 故勾股定理的逆定理适用。除以 没有丢失情形，因为 排除了 或 。
方法总结
遇到 时，先检查 ，再除以 ，常能把问题转成两个倒数之和。 若 是同一真数的对数，倒数换底后即可利用对数的乘法法则合并。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先确认对数非零，将等式除以两对数后换底合并，直接得到a²−b²=c²并判直角。
已记下，谢谢！