2010 年河北预赛 · 第 17 题

解答

原定义域是 $x>-1$，且 $f(0)=1,f^{\prime }(0)=-1$，故切线是 $y=1-x$。 （1）令 $h(x)=f(x)-(1-x)=\frac{m}{2}{x}^2-x+\ln (1+x)$，则

当 $m=1$ 时，$h^{\prime }(x)=x^2/(x+1)$，在零点两侧都严格为正；由两段的严格递增及 $h(0)=0$，全定义域只有 $x=0$ 一个零点。 当 $m>1$ 时，令 $s=(1-m)/m\in (-1,0)$。在 $(s,0)$ 上 $h^{\prime }<0$，所以该段的 $h(x)>h(0)=0$；另一方面 $x\to -1^{+}$ 时 $h(x)\to -\infty$。连续性保证另有一个负零点，与零点 $0$ 不同。因此第一问 $\boxed{m=1}$。 （2）对任意 $m\ge 1$，

分子两根为

因分子在 $-1$ 处为 $1$、在 $0$ 处为 $-1$，可知 $-1<r_{-}<0<r_{+}$。分母在定义域正，所以 $f$ 在 $[r_{-},r_{+}]$ 严格递减，在其两侧严格递增。任一非退化闭递减区间必须位于这段内，其长度满足

反之，对任意 $0<t\le \sqrt{5}$，取 $m=1$ 及 $[a,b]=[r_{-},r_{-}+t]$，就是一个长度为 $t$ 的闭递减区间。因此全部可能长度是 $\boxed{t\in (0,\sqrt{5}]}$。