培玉 · 一试
一试训练题
F2填空题导数的应用
正整数N≥2，证明Σₖ₌₂ᴺsin(1/k²)<1。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
正弦严格小于角，再用有理裂项控制有限和。
解答
对t>0有sin t<t，故所求和<Σ₂ᴺ1/k²<Σ₂ᴺ1/(k(k-1))=1-1/N<1。每个求和项及所有分母均合法。 所求为 。
复核
只用有限望远镜，不依赖无穷级数精确值；各层不等式都是严格的。
方法总结
正弦严格小于角，再用有理裂项控制有限和。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
正弦严格小于角，再用有理裂项控制有限和。
已记下，谢谢！