培玉 · 一试
2015 年中科大少年班初试 · 第 8 题
F3填空题概率
从集合中随机取4个不同的数，并从小到大排列，则它们构成等差数列的概率是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
四个数排序后，等差数列由最小项与正公差唯一确定。
思路
固定公差时，最小项的上界由第四项不超过二十决定。
解答
设四个递增项为 ，其中 为正整数。条件 给出 ，固定 时 有 种选择。因此有利四元子集数为
每个子集的最小项和公差唯一，不会重复。所有四元子集共 个，故所求概率为
复核
最大公差 时只有最小项 ，而 已无正最小项；公差不能为零，因为四个数互不相同。直接枚举全部四元子集，也得到 个递增等差子集。
方法总结
排序后满足数列条件的随机子集，应按唯一的首项、公差参数化；先证明不重计，再按边界逐层求和。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须独立选择四元子集样本空间和首项公差的无重复计数。
已记下，谢谢！