2025 年四川预赛

“某个值再次出现”是否足以说明后面重复，取决于它是不是完整状态。一阶确定性迭代由当前一项决定下一项；二阶数列即使模整数取值，也必须保留相邻两项。有限状态还要分清最终进入循环与从初态起循环。

直接迭代的回返与模数列的有序对回返看起来相近，需要记住的信息量却不同；可逆性在后一题中还排除了循环前段。

都是固定系数的分式迭代，却不能因前几项有规律就统一按短周期处理。一题可以核实完整状态回到初值；另一题更适合把分式写成辅助线性数列的相邻项之比。应先证明所用结构，而不是把分式外形当作周期证据。

一个目标借合法回返直接缩减下标，另一个要借比值表示确定全体项；两种变形后的验证对象不同。

两个分式迭代都可先算少量完整状态，找到回到初始状态的循环，再用迭代的确定性处理远项。周期成立的前提是整个循环都合法，不能把约分后出现的形式恒等当成已检查全部原定义域。

函数迭代要对每个允许的初始输入保留被历次分母排除的点；给定初值的数列只需验证实际循环上的分母，并注意下标偏移。

发现重复变换后，都应先问对象是否允许非零周期。分式递推的数列可以回到同一状态后循环，但非恒定多项式若在所有实输入上平移不变，会与次数矛盾。

数列一段循环还要查沿途分母；多项式则要证明非恒定，并把反射真正复合成平移，不能只凭对称图形猜周期。

确定性迭代中，某个势函数不增加、势函数值相同、整个状态重复，是三种不同信息。单调量可以控制变换，却不能单凭它宣称每一步严格下降或最终固定；确认周期则要回到完整状态并核下一步仍合法。

一题把变换拆成守恒与排序不增，另一题逐项算出实际循环并核分母；只有状态重复配合确定性，才足以把一次回返延续到全部后项。