垫脚石（此题 → 相关题） 2023 年北京预赛 · P006639
先练习用平移消去三次式的二次项，再把这个操作同时用于两道方程；归一到同一个函数后，才能利用对称性与唯一性比较根。
前题由给定中心反求系数；后题需要自行找到两个平移中心，并补上严格单调性的论证。
培玉 · 一试
2025 年新疆预赛
三次函数图象的对称中心
F2填空题函数的图像与性质
设实数 满足：函数
图象的对称中心为 ，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
三次函数图象的对称中心就是拐点。
思路
先由二次项系数确定中心横坐标，再代入求中心纵坐标。
解答
展开得
首项系数为 的三次函数 的对称中心横坐标为 。因此
解得 。再由中心在图象上，
所以 。故
复核
取 时 ，其图象确实关于 中心对称。
方法总结
三次多项式的中心横坐标可由消去平移后二次项得到，纵坐标再取函数值；也可直接验证 。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
中心平移后偶次项必须消失，配合中心在图象上即可求a,b，属于标准三次函数中心模型。
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