2025 年广州预赛

解答

双曲线的焦点为

设外接圆与 $x$ 轴的另一个交点为 $T$。因 $|F_{1}T|=7$，点 $T$ 的横坐标为 $5$ 或 $-9$。

直线 $l$ 与右支有两个交点时，$F_2$ 位于弦 $AB$ 的内部，故 $F_2$ 对圆的有向幂为负。因此 $T=(5,0)$，并且

取 $l$ 的单位方向向量为 $(\cos \theta ,\sin \theta )$，把线上点写为

代入双曲线方程，得到

其两根 $s_1,s_2$ 对应 $A,B$。由韦达定理和 $s_1{s}_2=-12$，

所以 ${\cos }^2\theta =\frac{1}{16}$。同时

由于 $s_1,s_2$ 异号，

故 $|AB|=\boxed{8}$。