培玉 · 一试

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2012 年辽宁预赛 · 第 2 题

F2选择题函数的值域

设 $A_{k} = {x x = k t + \frac{1}{k t}, \frac{1}{k ^{2}} \leq t \leq 1}$ （ $k = 2, 3, \dots, 2012$ ），则所有 $A_{k}$ 的交集为（）。
(A) $\emptyset$ (B) ${2}$
(C) $[2, \frac{5}{2}]$ (D) $[2, \frac{201 2 ^{2} + 1}{2012}]$

作答

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

先随换元准确变换参数区间两端，并注意倒数对称区间包含内部极小点；逐个求完整值域后，利用嵌套关系确定交集，而不是只比较端点值。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：用导数或作差看单调性、区间含参时的值域

专题卡：单变量函数求值域：先判增减，再比端点、区间或参数在变的值域题：看顶点在不在区间，再反求或求并集