2024 年北京预赛

解答

令 $p=4049$、$r=4048$。逐个试除不超过 $\sqrt{4049}$ 的素数可知 $p$ 是素数。按质因数指不同的素除数的通常含义，记这些素数为 $q_1,\dots ,q_r$，把 $a_i$ 的各素因子指数模 $p$ 编为 $v_i\in {\mathbb{F}}_p^r$。非空子乘积是 $p$ 次方，当且仅当对应向量和为零。下面证明 $r(p-1)+1$ 个向量必有非空零和。在交换代数 $A={\mathbb{F}}_p[X_1,\dots ,X_r]/(X_1^p-1,\dots ,X_r^p-1)$ 中，令 $Y_j=1-X_j$，则 $Y_j^p=0$。把 $v_i$ 对应的单项式记为 $M_i$；每个 $1-M_i$ 用 $Y_j$ 表示时均无常数项。故 $r(p-1)+1$ 个这样的因子相乘为零：每一项总次数至少为 $r(p-1)+1$，必有某个变量次数至少为 $p$。另一方面，展开为 ${\sum }_I(-1{)}^{|I|}{\prod }_{i\in I}{M}_i$。若没有非空零和子集，其常数基向量系数只有空集贡献的 $1$，与乘积为零矛盾。这里 $X_1^{e_1}\cdots X_r^{e_r}$、$0\le e_j<p$ 构成商代数的一组基。于是 $n\le r(p-1)=4048^2$。为取到上界，对每个 $j=1,\dots ,r$ 取 $p-1$ 个数 $q_j^{1+pt}$，其中 $t=0,\dots ,p-2$。这些数两两不同，乘积恰有 $r$ 个素除数。任一非空子集，对某个 $q_j$ 的取数个数介于 $1$ 与 $p-1$，相应指数不被 $p$ 整除，故子乘积不是 $p$ 次方。所求最大值为 $\boxed{4048^2=16386304}$。