2017 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 4 题

解答

把三位数写为 $\overline{abc}$，其中 $a\in \{1,\dots ,9\}$，$b,c\in \{0,\dots ,9\}$，且 $|a-b|,|b-c|\le 1$。 当 $b=0$ 时，$a=1$，$c\in \{0,1\}$，有 $2$ 个。 当 $b=1$ 时，$a\in \{1,2\}$，$c\in \{0,1,2\}$，有 $6$ 个。 当 $2\le b\le 8$ 时，$a,c$ 都有 $3$ 种选择，共 $7\times 9=63$ 个。 当 $b=9$ 时，$a,c\in \{8,9\}$，有 $4$ 个。 这些情形互斥且穷尽，故共有 $\boxed{2+6+63+4=75}$ 个平稳数。