2014 年湖北预赛 · 第 9 题

解答

把四元子集按相邻整数分成极大的连续段。无孤立元素等价于每段长度至少为 $2$， 故各段长度只能是 $4$ 或 $2+2$，两类互斥且穷尽。 一段长度为 $4$ 时，其起点可为 $1,\dots ,6$，共有 $6$ 个。 两段长度为 $2$ 时写为 $\{i,i+1,j,j+1\}$，极大性要求 $j\ge i+3$，且 $j\le 8$。 于是 $i=1,\dots ,5$ 时分别有 $5,4,3,2,1$ 个选择，共 $15$ 个。 总数为 $6+15=\boxed{21}$。