培玉 · 一试
2013 年湖南预赛 · 第 10 题
F4解答题平面几何综合
如图所示，在对边乘积相等的圆内接凸四边形 中， 为对角线 的中点， 为劣弧 上一点，且 。求证： 三点共线。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
三角形顶点连线TX交BD于内部X时，，可用两小三角形面积比证明。
想法从哪来：目标是过中点的共线，最容易转成BD上的一个交点两侧长度相等。先令TA与BD交于X，再问BX与XD之比怎样计算。题设的乘积相等给的是两条弦长的比，而三角形TBD中一条顶点连线分底边的比，恰好能写成两边长乘两个小角正弦的比。圆周角把这两个小角的正弦比还原成AB与AD的弦长比，平行弦条件又把TB、TD换成CD、BC，两组比正好抵消。这样每个已知条件都有明确职责，不必猜额外辅助圆。还需利用圆上的点序确认X在底边内部，才能由正比为一得出中点。
平行弦先交换两条弦长，再把过点割线在对角线上的分比写成正弦比。
解答
给定 ，故 。由 和同圆圆周角，得 。令 ；凸内接点序及 位于所给劣弧保证该交点在 内。对 ，利用共高面积比和正弦面积式，
同圆弦长正弦比给 ，所以
故 ，即 。
复核
平行弦对应的是交叉的弦长相等，须保留 与 的次序。劣弧条件用于指定内部截比，不可不分点序直接写正长度比。
方法总结
对边乘积条件适合与正弦形式的截线分比相乘，约去互换的弦长。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
由平行弦交换两组弦长，再通过正弦面积截比与对边乘积条件消元，须确认所取弧支和内部交点。
已记下，谢谢！