培玉 · 一试
2024 年重庆预赛
F4解答题数列的性质
设
求 的值。（其中 表示不超过实数 的最大整数）
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
中值定理：函数两点值差等于区间内某点导数乘自变量差；若导数绝对值小于1，则到不动点的距离缩小。交错且绝对值递减的误差可配对夹和。
想法从哪来：题目只问整数部分，逐项求根式往往做了过多工作。先找递推的不动点，把每一项拆成这个整数加误差；原和就变成一个整数加误差和。递推函数递减，说明相邻误差分居零点两侧；还需要进一步控制误差大小，否则交错不保证和落在一个单位区间内。用导数界可看出它是压缩的，误差绝对值严格缩小。把正负误差两两合并，一方面和为正，另一方面从第二项起抵消首个误差的一部分，得到严格的上下界。第一项没有这种抵消，必须从一般结论中单独拿出。
递推函数在正半轴严格递减且以 为不动点。考察误差 ，可得到绝对值递减的交错数列。
解答
令
显然 且 。又
并且对 有 。由中值定理， 与 异号，且
因为 ，所以从第二项起，交错和
严格满足 。于是当 时
从而其整数部分为 。而 时原和等于 。故按原题给出的全部正整数 ，
复核
时 ，须与 的情形分开；对 ，严格不等式 同时排除了上下端点。
方法总结
递推在不动点附近由减函数控制时，误差常交替变号；若又是压缩映射，误差绝对值递减，可用交错和夹逼整数部分。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
须围绕不动点2研究误差符号交替且绝对值严格缩小，才能夹住全部部分和；n=1必须单独处理。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：奇偶配对与交错和、递推的不变区间与临界值
已记下，谢谢！