2014 年湖北预赛 · 第 13 题

解答

记 $u_j=a_{2j-1},v_j=a_{2j}$。两类三项关系给 $u_{j+1}=2v_j-u_j$，$v_{j+1}=u_{j+1}^2/v_j$。原递增条件及首项保证各项为正。令 $x_j=u_j/v_j$，得 $x_{j+1}=1/(2-x_j)$，$x_1=1/2$，归纳知 $x_j=j/(j+1)$。继而 $v_{j+1}/v_j=((j+2)/(j+1){)}^2$，故 $\boxed{a_{2j-1}=j(j+1),a_{2j}=(j+1{)}^2}$。对奇偶下标分别代入均可验证 $a_k<(k+2)(k+3)/4$，所以 $\frac{1}{a_k}>\frac{4}{(k+2)(k+3)}$。从一至 $n$ 累加，右侧约消得 $\boxed{S_n>4(1/3-1/(n+3))=\frac{4n}{3(n+3)}}$。