解不等式

解不等式 $\frac{(x-1{)}^2(x+2)}{x-3}\le 0$。

有三个零点，其中 $x=1$ 来自平方，经过它不变号。

零点是 $-2,1,3$。取 $x=-3$ 得 $\frac{16\cdot (-1)}{-6}>0$；取 $x=0$ 得 $\frac{1\cdot 2}{-3}<0$；取 $x=2$ 得 $\frac{1\cdot 4}{-1}<0$；取 $x=4$ 得 $\frac{9\cdot 6}{1}>0$。所以 $-2<x<1$ 和 $1<x<3$ 符合。$x=-2,x=1$ 时值为 $0$，可取；$x=3$ 不可取。

$-2\le x<3$。

若 $x^2+ax+b<0$ 的解集是 $(1,3)$，求 $a,b$。

开口向上的二次式小于零的部分在两根之间，解集端点就是两根。

两根是 $1,3$，首项系数是 $1$，所以 $x^2+ax+b=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$。检查：$(x-1)(x-3)<0$ 时两因子异号，解是 $1<x<3$。

$a=-4,b=3$。

偶函数 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上严格递增，解 $f(x-1)<f(2)$。

$x-1$ 可能是负数，不在已知单调的范围里，所以先加绝对值。

$f(x-1)=f(|x-1|)$，所以 $f(|x-1|)<f(2)$。$|x-1|$ 和 $2$ 都在 $[0,+\infty )$ 上，得 $|x-1|<2$，即 $-2<x-1<2$。

$-1<x<3$。

解不等式 $2^x+3^x>13$。

解不出 $x$ 的精确表达式，但 $2^x,3^x$ 都递增，它们的和也递增。

设 $g(x)=2^x+3^x$。$x$ 变大时两项都变大，所以 $g$ 严格递增。又 $g(2)=4+9=13$，所以 $g(x)>g(2)$ 等价于 $x>2$。

$x>2$。

解不等式 $x^3+x<(2-x{)}^3+(2-x)$。

两边结构完全一样，设 $H(t)=t^3+t$。直接展开反而麻烦。

不等式就是 $H(x)<H(2-x)$。当 $v>u$ 时，$H(v)-H(u)=(v-u)(v^2+uv+u^2+1)$，其中 $v-u>0$，$v^2+uv+u^2+1={\left(v+\frac{u}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{u}^2+1>0$，所以 $H$ 严格递增。于是 $x<2-x$，即 $2x<2$。

$x<1$。

解不等式 ${\log }_{1/2}(x-1)>1$。

底数 $\frac{1}{2}<1$，函数递减，去掉对数时不等号反向。

因为 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^1=\frac{1}{2}$，所以 $1={\log }_{1/2}\frac{1}{2}$，不等式就是 ${\log }_{1/2}(x-1)>{\log }_{1/2}\frac{1}{2}$。由递减得 $x-1<\frac{1}{2}$，再加上真数条件 $x-1>0$，得 $1<x<\frac{3}{2}$。

$1<x<\frac{3}{2}$。

$f(x)=2^x$，解 $f^{-1}(x)<3$。

$f$ 是增函数，用它作用两边，方向不变。

$f$ 的输出 $2^x$ 总是正数，所以 $f^{-1}(x)$ 只在 $x>0$ 时有定义。两边用增函数 $f$ 作用，方向不变；$f\left(f^{-1}(x)\right)=x$，所以得 $x<f(3)=8$。与 $x>0$ 取交集。

$0<x<8$。

$f$ 是偶函数，$g$ 是奇函数，$f(x)+g(x)=2^x$。求 $f(x),g(x)$。

换成 $-x$ 后，$f$ 不变，$g$ 变号，正好可以消元。

把 $x$ 换成 $-x$：$f(-x)+g(-x)=2^{-x}$，即 $f(x)-g(x)=2^{-x}$。与原式相加得 $2f(x)=2^x+2^{-x}$，相减得 $2g(x)=2^x-2^{-x}$。

$f(x)=\frac{2^x+2^{-x}}{2},g(x)=\frac{2^x-2^{-x}}{2}$。

求满足 $a<a^3<|a|$ 的实数 $a$ 的范围。

两个不等式都和 $a$ 的正负有关，先分类。

$a=0$ 时三项都是 $0$，不成立。若 $a>0$：$|a|=a$，条件 $a<a^3$ 和 $a^3<a$ 互相矛盾。若 $a<0$：$a^3<0<|a|$，右边的不等式成立。左边 $a<a^3$ 即 $a^3-a>0$，$a(a-1)(a+1)>0$。此时 $a<0$，$a-1<0$，前两个因子的积为正，所以要 $a+1>0$，即 $a>-1$。

$-1<a<0$。

解不等式 $\sqrt{x+2}>x$。

右边可能是负数，不能直接平方，所以按 $x$ 的正负分情况。

定义域为 $x\ge -2$。当 $-2\le x<0$：左边非负、右边为负，不等式成立。当 $x\ge 0$：两边非负，平方得 $x+2>x^2$，即 $(x-2)(x+1)<0$，得 $-1<x<2$，与 $x\ge 0$ 取交集得 $0\le x<2$。合并两种情况。

$-2\le x<2$。

解不等式 $\sqrt{x+5}-\sqrt{x}<1$。

被开方式相差常数，先化成根式和。根式和是正数，不等号方向不变。

定义域为 $x\ge 0$。左边乘 $\sqrt{x+5}+\sqrt{x}$ 再除回去，等于 $\frac{5}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x}}$。分母为正，两边同乘分母，不等式变为 $\sqrt{x+5}+\sqrt{x}>5$。$x$ 增大时 $\sqrt{x+5}$ 和 $\sqrt{x}$ 都严格增大，所以左边严格增大。$x=4$ 时左边恰好是 $3+2=5$，所以不等式等价于 $x>4$。

$x>4$。

解方程 $\sqrt{x+7}+\sqrt{x+1}=\sqrt{3x+15}$。

直接平方两次很繁。先观察系数：$3x+15=2(x+7)+(x+1)$，所以第三个根式可以用前两个表示。

定义域为 $x\ge -1$。设 $a=\sqrt{x+7},b=\sqrt{x+1}$，则 $x+7=a^2$，$x+1=b^2$，$3x+15=2a^2+b^2$。两边都非负，平方得 $(a+b{)}^2=2a^2+b^2$，展开得 $a^2+2ab+b^2=2a^2+b^2$，移项得 $2ab=a^2$，即 $a^2-2ab=0$，提公因式得 $a(a-2b)=0$。分别令因子为零：$x\ge -1$ 时 $a\ge \sqrt{6}>0$，所以 $a=0$ 不可能；只剩 $a=2b$，平方得 $x+7=4(x+1)$，解得 $x=1$。检查：左边 $2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，右边 $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，成立。

$x=1$。

$a<x$ 对所有 $x\in (0,1)$ 成立，求 $a$ 的范围。

$x$ 能接近 $0$ 但取不到，要判断 $a$ 能否等于 $0$。

$a=0$ 时，每个 $x\in (0,1)$ 都大于 $0$，成立。$a<0$ 时，每个 $x\in (0,1)$ 都大于 $0$，也大于 $a$，成立。$a>0$ 时，取 $x$ 为 $a$ 和 $\frac{1}{2}$ 中较小的那个，它在 $(0,1)$ 内且 $x\le a$，不满足 $a<x$，不成立。

$a\le 0$。

$a{x}^2+2x+1>0$ 对所有实数 $x$ 成立，求 $a$ 的范围。

$a$ 在首项系数上，要先看 $a=0$。

$a=0$ 时式子为 $2x+1$，取 $x=-1$ 得负值，不成立。$a<0$ 时抛物线开口向下，$|x|$ 很大时式子为负，不成立。$a>0$ 时要求没有实根，$\Delta =4-4a<0$，所以 $a>1$。检查：$a=2$ 时 $2x^2+2x+1=2{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}>0$。

$a>1$。

对任意实数 $x$，都有 $x<1$ 或 $m-x<0$。求 $m$ 的范围。

$x<1$ 管不到的是 $x\ge 1$，这部分必须满足 $m-x<0$。

需要 $m<x$ 对所有 $x\ge 1$ 成立。$x$ 的最小值是 $1$，且可以取到，所以 $m<1$。检查临界值：$m=1,x=1$ 时两个条件都不成立。

$m<1$。

$|x-a|-|x|\le 3$ 对所有实数 $x$ 成立，求 $a$ 的范围。

两个绝对值之差，用三角不等式求左边的最大值。

从 $x$ 到 $a$，绕 $0$ 走不会更短：$|x-a|\le |x|+|a|$，所以 $|x-a|-|x|\le |a|$。取 $x=0$ 时左边等于 $|a|$，所以最大值就是 $|a|$。最大值不超过 $3$ 才能恒成立，需要 $|a|\le 3$。

$-3\le a\le 3$。

$|x-a|<1$ 对所有 $x\in [2,3]$ 成立，求 $a$ 的范围。

即 $a-1<x<a+1$，区间 $[2,3]$ 要整个落在里面。

$[2,3]$ 的最小数和最大数都要在 $(a-1,a+1)$ 内，需要 $a-1<2$ 且 $3<a+1$，所以 $a<3$ 且 $a>2$。这时 $[2,3]$ 中间的数也都在里面。

$2<a<3$。