2023 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 10 题

解答

设各棱长为 $l$，侧棱向量在底面上的正投影为 $\mathbf{v}$。 在底面内任选直角坐标系，对平面向量 $\mathbf{p}=(p_1,p_2)$、$\mathbf{q}=(q_1,q_2)$，记

其绝对值为两向量所张平行四边形的面积。令 ${\mathbf{e}}_1=\overrightarrow{AB}$，${\mathbf{e}}_2=\overrightarrow{BC}$，${\mathbf{e}}_3=\overrightarrow{CA}$。 三个侧面投影面积分别为 $|[{\mathbf{e}}_i,\mathbf{v}]|$。 由于 ${\mathbf{e}}_1+{\mathbf{e}}_2+{\mathbf{e}}_3=0$，这三个有向面积之和为零，且题给面积均非零，所以三个侧面投影面积中最大者必等于另外两个之和。

在 $2\sqrt{3},3\sqrt{3},4\sqrt{3},5\sqrt{3}$ 中，只有 $2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$ 符合这一关系。因此上底面投影面积为 $4\sqrt{3}$，也即底面积。底面为等边三角形，故

在底面取坐标

记 $A_1,B_1,C_1$ 在底面上的正投影分别为 $D,E,F$，则 $D=A+\mathbf{v}$，$E=B+\mathbf{v}$，$F=C+\mathbf{v}$。 下图取 $l=4$、$\mathbf{v}=(2,\sqrt{3}/2)$ 示意投影点的位置；后面的计算仍保留一般的 $p,q$。

于是三个侧面投影面积的平方和为

代入已知面积及 $l=4$，得到

设棱柱的高为 $h>0$。侧棱长为 $4$，故

所求体积为