2012 年河北预赛（高三卷） · 第 13 题

解答

令 $B=b^2$，二次型矩阵 $Q=\mathrm{diag}(1/8,1/B)$。切线可写成点 $h\mathbf{n}+t\mathbf{v}$ 的集合，其中 $\mathbf{n},\mathbf{v}$ 为互相垂直的单位向量，$h^2=8/3$。记 $\alpha ={\mathbf{v}}^{T}Q\mathbf{v},\beta ={\mathbf{v}}^{T}Q\mathbf{n},\gamma ={\mathbf{n}}^{T}Q\mathbf{n}$。交点参数满足 $\alpha t^2+2h\beta t+h^2\gamma -1=0$。由 $OA\perp OB$，有 $h^2+t_1{t}_2=0$，所以 $h^2(\alpha +\gamma )=1$。又 $\alpha +\gamma =1/8+1/B$，得 $8/3=8B/(8+B)$，即 $\boxed{b^2=4}$。此时 $\det Q=1/32$，利用 $\alpha \gamma -{\beta }^2=1/32$，弦长平方为 $(t_1-t_2{)}^2=4(\alpha -1/12)/{\alpha }^2$，其中 $\alpha \in [1/8,1/4]$。该函数导数为 $4(1/6-\alpha )/{\alpha }^3$，最大十二在 $\alpha =1/6$，两端值同为 $32/3$。故 $\boxed{|AB|\in [4\sqrt{6}/3,2\sqrt{3}]}$。