2016 年河南预赛 · 第 7 题

解答

记 $r=P{F}_1,s=P{F}_2$，右支给 $r-s=2a$。切线 $F_{1}P$ 到原点的距离为 $a$，而原点是两焦点中点，所以 $F_2$ 到同一直线的距离为 $2a$。三角形面积一方面为 $ar$，另一方面为 $rs\sin 45^{\circ }/2=rs/(2\sqrt{2})$，因此 $s=2\sqrt{2}a,r=(2+2\sqrt{2})a$。余弦定理给 $4c^2=r^2+s^2-\sqrt{2}rs=12a^2$，所以 $\boxed{e=\sqrt{3}}$。