培玉 · 一试
2026 年山东预赛
三角分式函数的值域
F3填空题三角函数综合
函数
的值域为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
分母恒正，可以先求 的最大值。
思路
令 后，问题化为闭区间上有理式 的最值；用构造判别式为零的不等式可同时得到最大值和等号点。
解答
令 。由于 ，
记
注意到 ，所以
于是对任意实数 ，
这等价于
因为 ，等号所需的 确实属于 。 此时可分别取正、负的 ，故 的最大值和最小值分别为 与 。又 连续，所以值域为
复核
分母最小为 ，没有定义域遗漏。等号点满足 ，相应的 有正负两种取值；连续性保证两端之间的值 全部取得。
方法总结
含 、而其余部分只含 的值域题，可先平方并令 。 对形如 的式子，把“最大值为 ”改写成关于 的二次式恒非负， 再令判别式为零，往往比直接求导更整洁。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
平方后成为(1−t²)/(2026+t)，需用二次式恰成平方确定最优上界，且核验等号余弦可达和正负正弦均能实现。
已记下，谢谢！