2023 年浙江预赛

解答

答案为

其中 $c\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$，$m\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$。

先验证充分性：若 $f(x)=c{x}^m$，则

其质因数只可能来自 $c$ 或 $2023$，故 $P$ 有限。

下面证明必要性。零多项式会使每个素数都属于 $P$，故不合题意。将非零 $f$ 写成

所有 $g(2023^j)$ 的质因数仍属于有限集 $P$。

先证 $g(1)\ne 0$。若 $g(1)=0$，则 $x-1\mid g(x)$，于是每个 $2023^j-1$ 的质因数都属于 $P$。取素数 $q$ 大于 $2023$ 及 $P$ 中每个元素。于是 $q\nmid 2022$。数

应有某个素因子 $r\in P$。由于 $r<q$ 且 $q\nmid 2022$，由 $r\mid {\Phi }_q(2023)$ 可知 $2023$ 模 $r$ 的阶为 $q$，从而 $q\mid r-1$，这与 $r<q$ 矛盾。因此 $g(1)\ne 0$。

现在反设 $g$ 非常数。对每个 $p\in P$：若 $p\mid 2023$，当 $j$ 足够大时 $g(2023^j)\equiv g(0)$ 模任意预先指定的 $p$ 的高次幂，故其 $p$ 进赋值最终等于 $v_p(g(0))$；若 $p\nmid 2023$，则对任意大的 $N$，可取 $j$ 为 $2023$ 在各模 $p^N$ 下的阶的公倍数，使 $2023^j\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^N)$，从而

（取 $N$ 大于后者即可）。同时选取这样的任意大 $j$，便得到所有 $p\in P$ 的赋值都被固定常数控制。因此 $|g(2023^j)|$ 被一个与 $j$ 无关的常数控制。 但非常数多项式满足 $|g(2023^j)|\to \infty$，矛盾。故 $g$ 必为非零常数，必要性得证。