2018 年天津预赛 · 第 14 题

解答

设右支切点为 $(x_0,y_0)$，切线为 $x_{0}x-y_{0}y/4=1$。两渐近线 $y=\pm 2x$ 上的交点为 $A=(u,2u),B=(v,-2v)$，其中 $u=1/(x_0-y_0/2),v=1/(x_0+y_0/2)$。因为 $x_0^2-y_0^2/4=1$，得 $uv=1$，且两者都为正。（1）$OA\cdot OB=5uv=5=O{F}_1^2$。（2）考虑圆 $x^2+y^2+(5/2)(v-u)y-5=0$。它经过两焦点 $(\pm \sqrt{5},0)$；代入 $A$，利用 $uv=1$ 得左端为零，代入 $B$ 同样为零。因此 $\boxed{F_1,F_2,A,B\text{ 共圆}}$。