2018 年湖南预赛

解答

取 $D=(0,0,0),A=(0,1,0),C=(2,0,0),B=(1,1,0),S=(0,0,2)$。设 $E=S+t(B-S)=(t,t,2-2t)$。平面 $SBC$ 的法向量为 $(1,1,1)$，平面 $EDC$ 的法向量可取 $(0,2-2t,-t)$。两面垂直给 $2-3t=0$，所以 $t=2/3$，即 $\boxed{SE=2EB}$。此时 $DE$ 方向为 $(1,1,1)$，将 $DA$ 和 $DC$ 的单位方向投影到垂轴平面，分别得到 $(-1,2,-1)/3$ 和 $(2,-1,-1)/3$，两向量夹角余弦为负二分之一。因此 $\boxed{\angle (A-DE-C)=120^{\circ }}$。