同一骨架 2009 年陕西预赛 第 12 题 · P010518
焦点三角形的内心按对边长加权，再用两焦半径的和差与距离平方差化简，内心横坐标会直接控制双曲线的实半轴或分支，无须先求出整个三角形。
前题给定两焦点与内心所在直线，求顶点的完整轨迹并删退化顶点；后题给定内心点及虚半轴，先定实半轴，再用纵坐标恢复三边求外接圆。
培玉 · 一试
2025 年新疆预赛
以双曲线焦点为顶点的三角形
F4填空题双曲线
双曲线
的左、右焦点分别为 ， 是双曲线上一点。若 的内切圆圆心为 ，则 外接圆的半径为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
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想想一道相关的题
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思路
内心是顶点按对边长加权的平均。三角形外接圆半径满足 ；这里底边为两焦点连线，动点纵坐标就是对应高，面积可直接计算。
想法从哪来：内心的两个坐标同时给出形状与大小信息，先用焦点三角形的边长权重表示它。双曲线定义给两焦半径之差，距离平方差又把半径之和与动点横坐标联系起来；将这两式代入内心横坐标，和项整体约掉，实半轴就直接显现。 符号也要先判断：右支与左支对应内心横坐标的相反号，动点在轴上方还是下方则与内心纵坐标同号。因此给定内心确定了所用分支。半轴确定后，再用纵坐标求动点与焦半径和，最后由已知焦距和高度求面积，接三边乘积公式求外接圆半径。代回内心权重是核对整个消元链的有效方式。
用三角形内心的重心坐标表达给定坐标，并结合双曲线两焦半径之差。横坐标关系会直接锁定实半轴 ，再由纵坐标关系确定点 和三边。
解答
记 ，于是
内心横坐标为正，故 在双曲线右支；又内心纵坐标为正，不妨写
令
由双曲线定义，
同时
结合（1）得
由三角形内心的重心坐标公式，
比较横坐标并利用（1）（2），得到
故 ，进而 。比较纵坐标又有
由（2）得 ，所以（3）化为 。代入双曲线
并利用 、，可得
由（1）可得
三角形以 为底，高为 ，故面积为 。设其外接圆半径为 ，则
复核
点 满足 ；它到两焦点的距离确为 。按边长权重计算内心重新得到 。
方法总结
焦点三角形已知内心时，可把内心写成按对边长加权的顶点平均。双曲线提供焦半径之差，而距离平方差提供焦半径之和与横坐标的联系，两组关系常可先确定双曲线参数。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需从内心横坐标消去焦距和直接锁定a，再联用纵坐标和曲线方程求完整三边，最后求外接半径。
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