同一骨架 2010 年中科大少年班初试 第 7 题 · P010080
两条曲线交换横纵坐标后互相对应，切点、坐标轴与切线也随之交换；相应三角形的面积保持不变，因此两道几何构造会落到同一个正参数最值机制。
对数曲线一题允许参数为负，面积中的边长必须保留绝对值；指数曲线一题只允许正参数，但切线截距仍可越过原点，不能把有向截距直接当长度。
培玉 · 一试
2023 年四川预赛
F2填空题导数的应用
设 是 轴上异于原点的任意一点，过 且平行于 轴的直线与曲线
交于点 ，曲线在 处的切线交 轴于点 ，则 面积的最小值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
由水平线 先确定 的横坐标，再由导数写出切线的纵截距。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
水平、 竖直，面积可化为单变量函数。
解答
由 在直线 与曲线上，
故
曲线在 处的切线斜率为
令切线与 轴交于 ，则
于是
从而
令 ，并设 。则
故 在 处取得唯一最小值
复核
保证曲线与切线斜率均有定义；正、负两个 只通过 影响面积，且 或 时面积均趋于无穷大。
方法总结
切线与坐标轴围成的面积问题，先用切点条件消去坐标，再把几何量化成单变量函数；含 的最值可取对数求导。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
交点x=e^(a²)和切线纵截距均可直接算出，面积改写为e^(t²)/(2t)后求导并核唯一极小，属于常规切线最值模型。
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