2021 年吉林预赛

解答

固定 $m>0$，有

若 $m\ge 2$，这个关于 $a$ 的二次式的判别式为

函数 $3m^3-8m+4$ 在 $m\ge 2$ 上严格递增，且在 $m=2$ 时等于 $12$， 故 $\Delta <0$，从而 $f(m)>0$，不可能满足题设。

因此必须有 $0<m<2$。关于 $a$ 的二次式的对称轴为 $a=m/2<1$，而

若某个 $a$ 使 $f(m)\le 0$，则它位于该二次式两实根之间； 由于对称轴小于 $1$ 且 $a=1$ 处非负，右端根不超过 $1$。 故所有可行参数均有 $a\le 1$。

当 $a=1$、$m=1$ 时，

所以 $a=1$ 可以取得。因此最大值为 $\boxed{1}$。