2025 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 10 题

思路

由余弦定理可得 $4S^2=b^2{c}^2-((b^2+c^2-a^2)/2{)}^2$，这是 $S=bc\sin \theta /2$ 的平方形式。对 $u>0$，$u+2/u\ge 2\sqrt{2}$，等号条件为 $u=\sqrt{2}$。

想法从哪来：两个动点受长度和约束，直接找垂足位置会引入额外变量。先让它们到公共顶点的距离写成 $1-t$ 与 $1+t$，利用交换两点的对称性，预期最后只出现 $t^2$。正四面体各面夹角已知，因此三角形的三条边可以先用余弦定理求出。 高等于两倍面积除以底边，所以不必求垂足。将面积平方写成两边乘积平方减数量积平方，根式会合成 $(1+t^2{)}^2$；再令 $u=\sqrt{1+3t^2}$，分式恰变成常数倍的 $u+2/u$。这时基本不等式才顺手。等号给出的新变量要反解回原来的两段长度，并把允许端点也带入，确认三角形未退化。

用 $AP+AQ=2$ 引入一个参数，由余弦定理求 $△MPQ$ 的边长，再用面积表示高。