2021 年浙江预赛

思路

本解使用的 Radon 不等式是 $\sum A_i^3/B_i^2\ge (\sum A_i{)}^3/(\sum B_i{)}^2$（正数）。可令权重 $w_i=B_i/\sum B_i$，对 $t^3$ 用加权凸性证明；此处 $A_i=X_i^2$、$B_i=(Y_i+Z_i{)}^2$。这是课外幂平均工具，不能仅写名称省去分母选择。

想法从哪来：条件给的是平方根之和，应先将平方根本身设成新变量，消除半整数指数。 分子有两项，先拆成两个循环和，试在全相等点各贡献一半的下界。第一部分的分母适合柯西配成幂和比值；第二部分的乘积与倒幂不平衡，可试 $a=YZ,b=ZX,c=XY$，把三项统一成同一类齐次分式。 新的分母 $YZ(Y^2+Z^2)$ 又可由 $(Y+Z{)}^4$ 控制，余下六次幂与四次幂的组合适合加权幂平均。这些换元的动机都是让三个分式能合并，所有放缩还要检查在全相等处兼容取等。

令 $a=\sqrt{x},b=\sqrt{y},c=\sqrt{z}$，把左端拆成两个循环和。 第一部分用柯西不等式结合幂和关系；第二部分再作乘积型代换，使目标化为齐次的三元不等式。