同一骨架 2023 年四川预赛 · P006761
两题都在展开前识别隐藏乘积结构，把高次多项式的目标系数还原为少数普通二项式系数。先完成因式分解与指数对应，再提取系数，比直接多项展开更能避免重复计数和符号错位。
一个将负幂整体移位后取一元系数，另一个将两变量分离后分别取系数相乘；目标指数如何变换要各自写清。
培玉 · 一试
2025 年广西预赛
洛朗展开式中指定项的系数
F2填空题二项式定理
在
的展开式中， 的系数是。（用具体数字作答）
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
括号内恰可写成完全平方除以 ，从而把洛朗展开中的指定幂转成普通二项式系数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
因为
所以
原式中 的系数，就是 中 的系数，即
复核
除以 会把幂次整体降低 ，故应取 ，下标没有偏移。
方法总结
遇到 的幂，先检查能否写成 ；这通常比直接使用多项式定理更稳妥。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
识别x+4/x+4=(x+2)²/x，六次幂化为普通12次二项式再平移所取幂次即可。
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